Глава 4. Решение уравнений

       4.1 Функция root


Функция root используется для решения одного уравнения  с одним неизвестным. Перед началом решения желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни, то есть пересекает ли график ось абсцисс. Начальное приближение лучше всего выбрать по графику поближе к корню, так как итерационные методы весьма чувствительны к выбору начального приближения.

Обращение к функции осуществляется следующим образом:

root(f(x),x), где f(x)– выражение, равное нулю; x– аргумент, варьируя который, система ищет значение, обращающее в нуль (рис. 4.1).

                                                                                Уравнение     

                                                                                 начальное приближение

                                                                                 решение  

                                                                                 или     

                                                                                 другие корни     

                                                                                                            

                                                                               

                                                                               

                                                                                Задан интервал поиска корней

                                                                                  

                                                                                   

                                                                                  Рис. 4. 1    Использование функции root

 

Функция f(x) и аргумент x должны быть скалярами, то есть результат вычисления функции – число, а не вектор или матрица. Функция root использует метод секущих. Корень уравнения – ближайшее к начальному приближению значение x, обращающее функцию f(x) в нуль. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.

Mathcad позволяет вместо начального приближения задавать диапазон значений аргумента, в котором лежит значение искомого корня. В этом случае обращение к функции  root должно иметь четыре параметра:

root(f(x), x, а, b),

где a и bграницы интервала, в котором лежит один корень уравнения. Внутри интервала не должно быть больше одного корня, так как Mathcad выводит на экран лишь один корень, лежащий внутри интервала.

Значение функции на границах интервала должно быть разного знака, иначе, возможно, корень не будет найден.

Если уравнение не имеет действительных корней, то есть на графике функция f(x) нигде не равна нулю, то для вывода комплексных корней надо ввести начальное приближение в комплексной форме (рис. 4.2).

                                                               Если функция имеет мнимый корень,

                                                                         то начальное приближение задается комплексным числом

                                                                              

                                                                         

                                                                         

                                                                      - начальное приближение

                                                                                          

                                                                                                   

                                                                        

                                        Рис. 4. 2 Решение уравнения с комплексными корнями

Для ввода мнимой единицы надо ввести с клавиатуры 1i или 1j.

 

Если уравнение имеет несколько корней, то для их нахождения можно использовать разложение функции f(x) на простые множители:

f(x)=(xx1)(xx2)···(xxn),

где x1,x2,  ,xn – корни уравнения. Начальное приближение можно задать только для первого корня. В качестве функции f(x) нужно взять

                                                                                   ,

где    ,

         и т. д.  (рис. 4.3)

                                                                            у этой функции 3 корня

                                                                                              диапазон значений х для вывода графика

                                                                          

                                                                                            

                                                                                 

                                                                                 

             Рис. 4.3 Определение трех корней уравнения

 

Если функция f(x) имеет малый наклон вблизи искомого корня, то функция root(f(x),x) может сходиться к значению, довольно далеко отстоящему от корня. В таком случае для уточнения корня необходимо уменьшить значение погрешности вычислений, задаваемое встроенной переменной TOL. Для этого:

1) в стандартном меню Mathcad выберите команду Tools Worksheet Options BuiltIn Variables (Инструменты Параметры документов Встроенные переменные);

2) в открывшемся окне поменяйте значение Convergence Tolerance (TOL) (Погрешность сходимости).

Чем меньше константа TOL, тем ближе к нулю будет значение функции при найденном корне уравнения, но тем больше будет время вычисления корня.

Для повышения точности расчета корня можно заменить f(x) на

                                                                                          .

Корень можно найти и по графику, увеличив масштаб. Для этого необходимо:

1) выделить график, щелкнув левой кнопкой мыши внутри графика;

2)в главном меню Mathcad выбрать команду FormatGraphZoom(Формат→График→Масштаб);

3) при нажатии левой кнопки мыши обвести пунктирной линией область графика вблизи искомого корня, которую надо увеличить;

4) в открытом окне XY Zoom (Масштаб по осям XY) нажать кнопку Zoom.

Прямо с графика можно передать в буфер обмена численное значение корня. Для этого выполните следующие действия:

1) Выделите график, щелкнув левой кнопкой мыши внутри графика,

2) в главном меню Mathcad выберите команду FormatGraphTrace (Формат→График→Трассировка),

3) щелкните левой кнопкой мыши внутри графика – появится перекрестье осей,

4) двигая мышь при нажатой левой кнопке, установите перекрестье на пересечении графика с осью абсцисс. При этом численные значения координат перекрестья появляются в открытом окне XY Trace (Трассировка X и Y).

5) правильно выбрав положение перекрестья, нажмите кнопки Copy X и Copy Y – численные значения будут помещены в буфер

6) вне поля графика запишите имя, которое хотите дать корню, и оператор присваивания :=. Нажмите кнопку Paste (Вставить) в стандартном меню Mathcad или в контекстном меню, открывающемся при нажатии правой кнопки мыши.

                                                                         

                                                                   

       Рис. 4. 4    Определение корня уравнения по графику

 

В окне XY Trace есть пункт Track Data Points (Отмечать расчетные точки). Если установить этот флажок, при перемещении мыши пунктирное перекрестье на графике будет перемещаться скачками, отмечая расчетные значения функции. Если флажок снять, движение перекрестья становится плавным.

При работе с Mathcad постоянно пользуйтесь правой кнопкой мыши (в контекстном меню каждый раз появляются новые, наиболее нужные в данный момент функции). Щелкните правой кнопкой мыши на графике: в открывшемся контекстном меню есть пункты Zoom и Trace.

                                                                                                                  

НазадВперед

Оглавление  Глава 4