Глава 4. Решение уравнений

       4.7 Исследование функции на экстремум


Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. Mathcad с помощью встроенных функций решает только задачу нахождения локального экстремума. Для поиска глобального экстремума необходимо вычислить все локальные экстремумы и выбрать из них наибольший.

Отметим три пути поиска экстремума:

1) для непрерывной функции используем равенство нулю производной от функции (рис. 4.15),

2) для функции с переломами используем функцию minerr (рис. 4.16). Для этого по графику выбираем число, заведомо большее (или меньшее) экстремального значения функции, и записываем его в качестве ограничения в блоке Given. Функция  minerr возвращает значение аргумента, при котором расхождение между заданным числом и значением функции минимально на том участке, где выбрано начальное приближение.

Для определения максимума ступенчатой функции удобно использовать программу Fmax.

3)для непрерывных функций удобно использовать функции  maximize и minimize (они вводятся аналогично функции find) (рис. 4.17). Ключевое слово Given можно опустить – оно необходимо лишь при наличии ограничений.

                                                                                          исходная функция       

                                                                                         

                                                                                            начальное приближение

                                                                                                  максимум

                                                                                             другое начальное приближение

                                                                                                 минимум

                Рис. 4. 15 Нахождение экстремумов функции путем

                          приравнивания производной к нулю

 

                                                                        поиск экстремума с помощью функции Minerr

                                                                                                

                                                                                          начальное приближение  х:=3

                                                                                          Given       

                                                                                                 максимум функции

                                                                                              начальное приближение 

                                                                                           Given         

                                                                                                минимум функции

                                                                                           

   Рис. 4. 16 Поиск экстремумов ступенчатой функции

 

                                                                                                    начальное значение   

                                                                                                     

                                                                                                    Given   

   Рис. 4. 17 Использование функции maximize и minimize

 

Нахождение экстремумов функции нескольких переменных аналогично исследованию функции одной переменной. На примере функции двух переменных рассмотрим влияние ограничений на поиск экстремумов (рис. 4.18 и 4.19). Функции maximize и minimize способны вычислить, соответственно, максимум и минимум как с ограничениями, так и без них. Результаты решения в значительной степени зависят от выбранных от начальных приближений и далеко не всегда соответствуют истине.

                                                                                                   поменяйте функции местами

                                                                                             

                                                                                              поиск минимума (максимума) функции двух переменных

                                                                                              Результат зависит от начального приближения,

                                                                                              Поменяйте условия на     

                                                                                                  Given    

                                                                                                     

                                                                                               то же самое  с функциями Maximize и Minimaze

                                                                                                         

                                                                                                       

                                                                                                            

   Рис. 4. 18 Нахождение  экстремумов функции двух переменных

 

                                                                          область ограничений в виде квадрата

                                                                                        с ограничениями Given    

                                                                                             

                                                                                       область ограничений в виде прямой линии

                                                                                               Given  

                                                                                            

                                       Рис. 4. 19 Нахождение экстремумов функции двух переменных с ограничениями

При анализе конкретного уравнения рекомендуется внимательно изучить график функции и график линий уровня, на котором хорошо видны области нахождения экстремумов.

Все три способа определения экстремумов функции имеют свои плюсы и минусы. Творческий подход к их выбору почти всегда позволяет правильно найти экстремумы функции.

 

НазадВперед

Оглавление  Глава 4