Глава 5. Решение  дифференциальных уравнений

      5.3 Решение дифференциального уравнения первого порядка


При интегрировании дифференциального уравнения первого порядка появляется одна произвольная постоянная, поэтому надо задать одно начальное условие у0, если ORIGIN=0, или у1, если ORIGIN=1 (MathCAD ожидает начальные условия в виде вектора).

Далее нужно ввести функцию двух переменных D(x,y), которая содержит вектор первых производных от неизвестных функций. Для ОДУ первого порядка функция  D(x,y) содержит одну первую производную у'(х).

                                                                          ОДУ первого порядка         

                                                                          n:=50          начальное приближение у(0)=4

                                                                             первая производная в явном виде

                                                                             решение с фиксированным шагом

                                                                           i:=0..n                               

                                                                                     

                                                   Рис. 5.8 Решение дифференциального уравнения первого порядка

 

В примерах на рис. 5.8 и 5.9 было просто разрешить уравнение относительно первой производной и определить функцию D(x,y). В случае нелинейного дифференциального уравнения необходимо разрешить это уравнение алгебраически относительно высшей производной. Это можно сделать в символьном виде и подставить решение в функцию D(x,y). Далее вызывается функция rkfixed (или Rkadapt, или Bulstoer), которая возвращает решение уравнения. В результате решения получается матрица, содержащая два столбца:

– первый столбец содержит координаты х точек, в которых найдено решение,

– второй столбец содержит значения найденного решения в указанных точках.

Найденное решение можно вывести в виде таблиц или графиков.

                                                                                 нелинейное уравнение

                                                                                                     начальное приближение у(0)=1

                                                                                                                 

                                                                                               решение с переменным шагом

                                                                                                           

                                                                                              

                                                                                          Решить самостоятельно:   

                                                     Рис. 5.9 Решение дифференциального уравнения с переменным шагом

Функции rkfixed, Rkadapt, Rkadap возвращают матрицы, а не функции, поэтому интегрирование и дифференцирование найденного решения стандартными методами MathCAD невозможно. Необходимо использовать функции интерполяции для перехода от матрицы к функции.

                                                                                                  

НазадВперед

Оглавление   Глава 5