Глава 5. Решение  дифференциальных уравнений

      5.5 Системы дифференциальных уравнений


Методика решения систем дифференциальных уравнений такая же, как и методика решения одного дифференциального уравнения высокого порядка.

Любое дифференциальное уравнение порядка n

                                                                              

путем замены

                                                                                        

 

может быть представлено в виде системы дифференциальных уравнений:

                                                                                 

Заметим, что в приведенных уравнениях содержатся производные только первого порядка. Преобразовав подобным образом каждое из уравнений, входящих в исходную систему, получим систему уравнений с большим количеством неизвестных функций, но с производными только первого порядка.

В результате решения получается матрица, содержащая n столбцов: первый – для значений аргумента х в точках, где найдены решения, оставшиеся столбцы содержат искомые функции и их производные у(х), у'(х), у''(х),…, у(n)(х).

                                                                        Исходная система   

                                                                                              при х(0)=1 и у(0)=0

                                                                                          Решение системы уравнений

                                                                                                  

                                                                                                                                              

                                                                                                                                              

                                                                                                 

                                                                                                 

                                                                       Решить самостоятельно: х'=х /(3х+2у)    

                                                                                                                                   у'=у /(2х+3у)

                                                                   Рис. 5.12 Решение системы ОДУ первого порядка

 

Примеры решения систем ОДУ первого и второго порядка показаны на рис. 5.12 и 5.13

                                                                    Система ОДУ второго порядка

                                                                                     u"=2v       v"=4v-2u

                                                                                      начальные условия         вектор первых и вторых производных

                                                                                                                       

                                                                                     

                                                                                                         

                                                                                       

                                                               Рис. 5.13 Решение системы ОДУ второго порядка

                                                                                                 

НазадВперед

Оглавление   Глава 5