Глава 5. Решение  дифференциальных уравнений

       5.9 Решение эллиптических уравнений (Лапласа и Пуассона)


С помощью двух встроенных функций, multigrid и relax, можно решить простейшие случаи уравнения Пуассона. Это уравнение очень часто используется в технике, например, для описания полей напряжений и деформаций в плоской задаче теории упругости, в задачах теплопроводности, гидроаэродинамики, электростатики. В MathCAD для численного решения уравнения Пуассона используется метод конечных разностей.

Уравнение Пуассона имеет вид

       .

Если правая часть уравнения равна нулю, такое уравнение называется уравнением Лапласа

.

На квадратной области уравнение Пуассона представляется в виде

.

Численное решение ищется в MathCAD только на квадратной области, состоящей из (n+1)(n+1) точек. Поэтому граничные условия должны быть определены пользователем для всех четырех сторон квадрата. Самый простой ( и наиболее часто используемый) вариант – это нулевые граничные условия (уравнение Лапласа). В таком случае можно использовать функцию multigrid.

Обращение к функции:

      Multigrid(M, ncycle),

где M– квадратная матрица размером 12n, которая содержит значения правой части уравнения Пуассона в соответствующей точке квадратной области; ncycle– число циклов на каждом уровне итерации функции multigrid. Значение ncycle=2 обычно дает хорошую аппроксимацию решения.

Пример использования функции multigrid приведен на рис. 5.21.

                                                       Обнуление предыдущих значений М

                                                                      Обнуление матрицы правых частей уравнения

                                                                        Три точечных источника

                                                                          Значения правой части уравнения Пуассона

                                                                    

                                                                     

                                                  Рис. 5.21 Решения уравнения Лапласа с помощью функции multigrid         

Если граничные условия по сторонам квадрата ненулевые, необходимо использовать функцию relax.

Обращение к функции:

 relax(a, b, c, d, f, u, rjac),

где a, b, c, d, e – квадратные матрицы одинакового размера, содержащие коэффициенты аппроксимирующего уравнения; f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке области, где ищется решение; u –  квадратная матрица, содержащая граничные значения решения на границе квадратной области и начальное приближение для решения внутри области; rjac – спектральный радиус итераций Якоби. Это число между 0 и 1, которое управляет сходимостью процесса релаксации.

Использование этой функции требует глубокого знания метода конечных разностей для составления указанных матриц. Пример использования функции relax приведен на рис. 5.22 и 5.23.

                                                                    Определим размеры сетки

                                                                                        

                                                                    Введем 5 квадратных матриц для коэффициентов a, b, c, d, e,

                                                                                     входящих в сеточную аппроксимацию уравнения Пуассона

                                                                                     чем больше эти коэффициенты, тем меньше шаг решения,

                                                                                     тем точнее результат. Можно взять

                                                                                            

                                                                                     Задает положение и интенсивность источника

                                                                                     Пусть во всех узлах значения правой части одинаковы

                                                                                     Граничные условия  

                                                                                     на верхней границе 

                                                                                     на нижней границе 

                                                                                     по бокам   

                                                                                     Поменяйте условия. Включите серые выражения.

                                                                                     Это аналог функции multigrid

                                                                                            

                                                                                     Спектральный радиус Якоби r  

                                                                                     Решение уравнения Пуассона 

                                                    Рис. 5.22 Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax

 

                                                          

                                         Рис. 5.23 Результаты решение уравнения Пуассона с помощью функции relax

                                                                                                 

НазадВперед

Оглавление   Глава 5