электронный учебник

"Экономико-математические методы"

 

На главную страницу

Нелинейное программирование

В конец страницы

15.2.  МЕТОД  МНОЖИТЕЛЕЙ  ЛАГРАНЖА

       Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования (15.1) – (15.2), предполагая, что система ограничений (15.2) содержит только уравнения, отсутствуют условия неотрицательности переменных,  и  – функции, непрерывные вместе со своими частными производными. Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее решения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функций нескольких переменных. Вводят набор переменных ,  называемых множителями Лагранжа, и составляют функцию Лагранжа

находят частные производные

и рассматривают систему n + m  уравнений

(15.3)

с  n + m   неизвестными  . Решив   систему  уравнений (15.3), получают все точки, в которых функция (15.1) может иметь экстремальные значения. Дальнейшее исследование найденных точек проводят так же, как и в случае безусловного экстремума. Метод множителей Лагранжа имеет ограниченное применение, так как система (15.3), как правило, имеет несколько решений.

Пример. Найти точку условного экстремума функции  при ограничениях

Составим функцию Лагранжа:

*

Продифференцируем ее по переменным . Приравнивая полученные выражения к нулю, получим следующую систему уравнений:

        Из второго и третьего уравнений следует, что ; тогда

Решив данную систему, получим:

  и 

 

Назад     К началу страницы     Вперед