электронный учебник

"Экономико-математические методы"

 

На главную страницу

Квадратичные формы

В конец страницы

8.1   КВАДРАТИЧНЫЕ  ФОРМЫ

         Квадратичной формой  от n неизвестных  называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при  через , а при произведении   – через , квадратичную форму Q можно представить в виде

      .

Симметричная матрица  называется матрицей квадратичной формы Q.

Пример.  Написать матрицу квадратичной формы

.

Здесь

Следовательно,

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид

A, где

Если в квадратичной форме А неизвестные подвергнуть линейному преобразованию , где ,

получится квадратичная форма  с матрицей . Матрица S называется матрицей линейного преобразования неизвестных. Если S – невырожденная матрица, то линейное преобразование неизвестных также называется невырожденным.

Рангом квадратичной формы А называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Для каждой квадратичной формы А можно подобрать такое линейное преобразование неизвестных  с ортогональной матрицей S (квадратная матрица S называется ортогональной, если ), что матрица квадратичной формы  будет диагональной, т. е. квадратичная форма приводится к сумме квадратов

          .  (8.1)

Закон инерции  квадратичных  форм.  Приводя квадратичную форму к сумме квадратов разными способами, мы будем получать в формуле (8.1) разные коэффициенты. Однако существует следующее важное обстоятельство (закон инерции квадратичных форм): если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же. Легко увидеть, что сумма  равна рангу  квадратичной формы А. Разность  называется сигнатурой квадратичной формы А.

Квадратичная форма А называется:

1) положительно(отрицательно)-определенной, если для любого ненулевого  выполняется неравенство А > 0 (А < 0);

2) знакопеременной, если существуют такие  и , что А > 0 А < 0;

3) положительно(отрицательно)-полуопределенной, или квазизнакоопределенной, если для всех  А ³ 0 (А £ 0), но имеется отличный от нуля вектор , для которого А = 0.

Ясно, что положительно-определенная квадратичная форма приводится к сумме квадратов с положительными коэффициентами, а положительно-полуопределенная форма – с неотрицательными коэффициентами. Важным условием положительной определенности квадратичной формы является следующий критерий (критерий Сильвестра).

Для того чтобы квадратичная форма А была положительно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные, или угловые, миноры

матрицы Теперь нетрудно найти и условия отрицательной определенности квадратичной формы. Для того чтобы квадратичная форма А была отрицательно-определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательны, а все главные миноры четного порядка – положительны.

Теорема 8.1. Квадратичная форма  положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А положительны (отрицательны).

 

Назад     К началу страницы     Вперед